Rotasi : Dinamika

Pada bab ini kita akan bahas kasus khusus pada gerak rotasi.

Untuk kondisi dimana momen inersia dari suatu benda adalah tetap, maka persamaan gerak rotasi benda tersebut bisa dirumuskan sebagai

$\bar{\tau}=I\bar{\alpha}$

dimana $\bar{\alpha}$ ini yang biasa disebut sebagai percepatan sudut, yakni seberapa besar perubahan kecepatan sudut tiap satu satuan waktu atau dirumuskan kedalam bentuk

$\bar{\alpha}=\frac{d\bar{\omega}}{dt}$

Satuan dari percepatan sudut ini adalah $radian/detik^2$. Selebihnya, hubungan percepatan dan kecepatan sudut tiap waktunya mirip dengan hubungan percepatan dan kecepatan pada gerak translasi.

Sebagai contoh, untuk kondisi percepatan sudut yang tetap, maka kecepatan sudut sebagai fungsi waktu bisa dirumuskan sebagai

$\bar{\omega}(\Delta t)=\bar{\omega}_0 + \bar{\alpha}\Delta t$ 

dengan $\bar{\omega}_0$ adalah kecepatan sudut mula-mula.

Sekarang kita coba bahas satu contoh dinamika gerak rotasi sederhana.

Ada sebuah katrol berbentuk silinder dengan jari-jari  dan massa . Katrol tersebut digantung pada dinding dan dililitkan untuk kemudian diikatkan pada suatu beban  yang kemudian dilepas bebas, seperti pada Gambar 1.

lalu bagaimana kita meninjau persamaan gerak untuk gerakan beban dan gerak rotasi dari katrol?

Secara prinspi, kita perlu mengetahui gaya apa saja yang bekerja pada beban dan katrol, kita coba buat diagram bebas untuk system beban dan katrol seperti pada Gambar 2.

Dari diagram bebas pada Gambar 2, terdapat beberapa gaya yang mempengaruhi  gerak rotasi katrol dan gerak translasi beban.

Untuk gerakan katrol, pada arah vertikal, ada gaya $T_1$, $T_2$  dan mg  yang mana gaya ini sama besar sehingga katrol tidak bergerak ke atas atau ke bawah, bisa dirumuskan menjadi:

$\Sigma F_y = T_1 - T_2 - mg = 0$

Sedangkan untuk gerakan rotasi dari katrol, ada torka dari $T_2$ yang menyebabkan katrol bergerak rotasi beralawan dengan arah jarum jam, sehingga bisa dirumuskan menjadi:

$\Sigma \tau = T_2 r = I \alpha$

yang mana momen inersia untuk katrol adalah $I = \frac{1}{2}mr^2$.

Kemudian untuk gerakan beban, gerakan yang terjadi adalah gerakan translasi saja tanpa rotasi (mengapa?).

Sehingga bisa kita rumuskan persamaan gerak untuk beban sebagai:

$\Sigma F_y =Mg -  T_2 = Ma_y$

Karena tali dililitkan pada katrol, maka memungkinkan gerakan katrol dan tali adalah tanpa slip. Tanpa slip mengindikasikan gerakan translasi beban akan sesuai dengan gerakan rotasi katrol, atau dengan kata lain

$\alpha r = a_y$

Nah, dari beberapa perumusan tersebut, kita bisa dapatkan seberapa besar percepatan gerak translasi beban dan gerak rotasi katrol.

$a_y = g (\frac{M}{M+m/2})$,

$\alpha = \frac{g}{r} (\frac{M}{M+m/2})$.

Dari hasil percepatan translasi beban dan percepatan rotasi beban kita bisa memprediksi seberapa cepat beban pada suatu rentang waktu tertentu dan seberapa jauh beban bergerak dan lainnya sesuia dengan kebutuhan, dengan menggunakan konsep kinematika gerak yang telah kita bahas sebelumnya.