Dinamika: Hukum kekekalan momentum

Di bagian ini kita akan membahas hukum kekekalan momentum.

Dari pembahasan dinamika gerak benda sebelumnya, pada pernyataan hukum ke-2 Newton bahwa jika ada resultan gaya yang bekerja pada suatu benda atau system akan menyebabkan perubahan momentum benda atau system tersebut atau bisa dirumuskan seperti 
$\Sigma \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$.

Pada kondisi khusus, dimana tidak ada resultan gaya yang bekerja, apa yang akan terjadi?

Bisa kita prediksikan bahwa jika tidak ada resultan gaya yang bekerja pada benda atau system, momentum benda tersebut tidak berubah dari waktu ke waktu.

Atau dengan kata lain momentum benda atau system tersebut adalah tetap. Bisa kita rumuskan dalam bentuk 

$0=\frac{d\vec{p}}{dt}$,
$\vec{p}=\rm{konstan}$.

Jika momentum suatu benda atau system adalah tetap, kita juga bisa prediksikan bahwa kecepatan pusat massa, jika yang kita kaji adalah system banyak benda, dari suatu system akan tetap pula. 

Sebagai contoh,

Misalkan ada dua orang kembar yang hendak memancing di danau. Agar bisa mendapatkan ikan, mereka perlu memancing ke tengah danau yang tenang.

Kemudian perahu tersebut diam diatas danau, kedua orang tersebut mengambil posisi memancing seperti pada Gambar 1 berikut. 

Jika salah satu dari kembar bersaudara tersebut bergerak, maka keseluruhan (perahu dan saudara kembarnya) akan bergerak relative terhadap kita pengamat diam ditanah.

Kita juga bisa prediksikan bagaimana pergerakan perahu dan kedua orang kembar tersebut bahkan jika mereka mondar-mandir di atas perahu. Hal tersebut dikarenakan momentum system perahu dan pemancing pada Gambar 1 tersebut adalah bernilai tetap. 

Coba perhatikan diagram bebas dari system Gambar 2 berikut.

Dari Gambar 2, gaya yang bekerja pada system perahu dan pemancing ini
adalah gaya gravitasi $Mg$ dan gaya angkat dari air $\vec{N}$. Dimana kedua gaya ini menghasilkan resultan yang bernilai nol, sehingga perahu tidak bergerak ke atas atau ke bawah (asumsi ideal), atau bisa dirumuskan dalam bentuk 
$\Sigma{F_y}=N-Mg=0$.

Untuk resultan gaya pada arah horizontal, kita asumsikan air danau dalam keadaan tenang, sehingga system perahu juga tidak mengalami gaya arah horizontal. Sehingga bisa dirumuskan sebagai
$\Sigma{F_x}=0$.

Dari hasil perumusan baik untuk resultan gaya arah vertical atau horizontal mengindikasikan bahwa pada system perahu dan pemancing ini momentumnya adalah kekal.

Akibat dari kekalnya momentum pada system ini menjadikan “pusat massa” system juga tidak bergerak, karena awalnya sudah tidak bergerak.

Sehingga dari prinsip kekalan momentum tersebut bisa kita prediksi bagaimana pergerakan perahu dan pemacing ketika mereka (pemancing) bergerak diatas perahu. 

Kita coba buat posis pusat massa system perahu sebelum pemancing mulai bergerak, seperti pada Gambar 3 berikut.

Pada Gambar 3, kita anggap pusat massa system perahu ada di tanda “cross” berwarna abu-abu, dimana terletak disepanjang garis vertikal. Posisi pusat massa system perahu ini diperngaruhi oleh pusat massa dari perahu sendiri (tanda “cross” kuning) dan dua orang pemancing (tanda “cross” hijau).

Misalkan massa untuk perahu adalah $m_2$ dan massa untuk setiap pemancing (kita anggap massa setiap pemacing adalah sama besar) $m_1$. Panjang perahu kita anggap sepanjang $L$, sehingga pusat massa dari system perahu ini bisa dirumuskan sebagai 

$X_{pm}=(m_1 x_1+m_2 x_2 + m_3 x_3)/(m_1+m_2+m_3)$.

Jika kita ambil nilai masing-masing posisi pusat dari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$ sebagai 
$x_1=-\frac{L}{2}$,
$x_2=\frac{L}{2}$,
$x_3=0$,

atau dengan kata lain kita akan mendapatkan pusat massa dari system perahu ini tepat di $X_{pm}=0$. 

Selanjutnya, misalkan pemancing pertama bergerak ke kanan sejauh $\Delta x$ menurut pengamat di daratan, maka perahu dan pemancing kedua akan bergerak sedemikian hingga pusat massa system perahu tetap pada posisi yang sama dengan semula.
Sehingga setelah bergerak sejauh $\Delta x$, 

$X_{pm}=(m_1 (-L/2+\Delta x)+m_1 (L/2+\delta x)+m_2(0+\delta x))/(m_1+m_2+m_3)$,
dimana kita prediksi bahwa perahu dan pemancing kedua akan bergerak bersamaan sebesar $\delta x$ relatif terhadap pengamat di daratan (bagaimana bisa?). 

Karena pusat massa system perahu sama dengan pusat massa mula-mula, akan kita dapatkan hasil berupa
$m_1 \Delta x=-\delta x (m_1+m_2)$,
$\delta x=-\left({\frac{m_1}{m_1+m_2}}\right)\Delta x$ .

Kesimpulan dari hasil di atas, perahu dan pemancing kedua akan bergerak bersamaan ke sebelah kiri sebesar $(m_1)/(m_1+m_2)$ kali pergeseran pemancing pertama. Bisa diumpamakan seperti pada Gambar 4 sebagai berikut. 

Garis “dash”/patah-patah menunjukkan posisi terbaru masing-masing objek setelah pergerakan.