Dinamika: Kerangka acuan pusat massa

Di bagian ini kita akan membahas suatu kerangka acuan khusus yang banyak dipakai untuk membahas persoalan mekanika, yakni kerangka acuan pusat massa.

Dari namanya bisa kita tebak kerangka ini berkaitan dengan pusat massa sistem yang kita tinjau.

Pada kerangka pusat massa, kondisi khusus yang terpenuhi adalah dimana momentum total yang dilihat di kerangka ini adalah nol, atau bisa dirumuskan menjadi 
$\Sigma{\vec{p}^{\rm{cm}}}=0$,

dan untuk kondisi kecepatan rendah (tidak relativistik), kerangka pusat massa itu sendiri memiliki kecepatan relatif thd pengamat diam sebesar
$\vec{v}_{\rm{cm}}=(m_1 \vec{v}_1+m_2 \vec{v}_2 + ...)/(m_1+m_2+...)$ .

Sebagai contoh, misalkan ada dua atlet lari yang sedang bertanding, yang satu memiliki kecepatan $\vec{v}_a$ dan lawannya memiliki kecepatan $\vec{v}_b$ (relatif thd pengamat diam). Bagaimana kecepatan masing-masing pelari dilihat dari kerangka pusat massa mereka? 

Pertama perlu kita cek seberapa besar kecepatan pusat massa sistem ini relatif thd pengamat diam,
$\vec{v}_{\rm{cm}}=(m_a \vec{v}_a+m_b \vec{v}_b)/(m_a+m_b)$.

Maka, untuk kecepatan masing-masing pelari relatif terhadap kerangka pusat massa adalah
$\vec{v}^{\rm{cm}}_a=\vec{v}_a-\vec{v}_{\rm{cm}}=\frac{m_b}{m_a+m_b}(\vec{v}_a-\vec{v}_b)$,

dan begitu juga dengan kecepatan pelari yang satu lagi
$\vec{v}^{\rm{cm}}_b=\frac{m_a}{m_a+m_b}(\vec{v}_b-\vec{v}_a)$.

Selanjutnya, kita akan coba cek bagaimana momentum total pada kerangka pusat massa ini (seharusnya momentum totalnya adalah nol).

Untuk pelari $a$,
$\vec{p}^{\rm{cm}}_a=m_a \vec{v}^{\rm{cm}}_a=\frac{m_a m_b}{m_a+m_b}(\vec{v}_a-\vec{v}_b)$,
dan untuk pelari yang lain
$\vec{p}^{\rm{cm}}_b=m_b \vec{v}^{\rm{cm}}_b=\frac{m_b m_a}{m_a+m_b}(\vec{v}_b-\vec{v}_a)$,
kalau kita jumlahkan totalnya adalah
$\Sigma{\vec{p}^{\rm{cm}}}=\vec{p}^{\rm{cm}}_a+\vec{p}^{\rm{cm}}_b=0$,
esuai dengan kriteria yang kita sebutkan diawal.